重心坐标插值(Barycentric Interpolation)

用来插值

线段的重心坐标插值

P = t A + (1 - t) B

点 $P$ 在 $△ A B C$ 组成的三角形内

求点 $P$ 的重心坐标插值 $(α, β, γ)$

P = α A + β B + γ C

α + β + γ = 1

面积

S_{△ A B C} = α S_{△ P B C} + β S_{△ P A C} + γ S_{△ P A B}

三角形的重心坐标 $α = β = γ = 1 / 3$

P = \frac{1}{3} A + \frac{1}{3} B + \frac{1}{3} C

四面体的重心坐标
$P_{c e n t e r} = \frac{P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4}}{4}$
求点 $P$ 的重心坐标插值 $(α, β, γ, δ)$
$α + β + γ + δ = 1$ $P = α A + β B + γ C + δ D$
体积
$V_{◻ A B C D} = α V_{◻ P B C D} + β V_{◻ P A C D} + γ V_{◻ P A B D} + δ V_{◻ P A B C}$
点P是否在四面体内部

0 <= α, β, γ, δ <= 1

α + β + γ + δ <= 1

多边形的重心坐标

算法一：一般适合凸多边形
n边多边形可以分成n-2个三角形，将这些三角形看做质点（质点的位置是三角形的重心x1,x2,..，质量是面积s1,s2,..），那么多边形就由这些质点组成，质点坐标以其质量为权的加权算术平均数即是多边形重心坐标x。
$P_{c e n t e r} = \sum_{i = 2}^{n - 1} \frac{C_{△ p 1 p i p i + 1} * S_{p 1 p i p i + 1}}{S_{p 1. . p n}}$
算法二：任意多边形
将算法一改进，n边多边形中每两个点（有顺序）加上原点可构成n个三角形,将这些三角形看做质点（质点的位置是三角形的重心x1,x2…，质量是面积(有正负)s1,s2,…），那么多边形就由这些质点组成，质点坐标以其质量为权的加权算术平均数即是多边形重心坐标x。多边形的面积s是这n个三角形面积(有正负)的代数和的绝对值。
$P_{c e n t e r} = \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{C_{△ (0, 0) p i p i + 1} * S_{(0, 0) p i p i + 1}}{S_{p 1. . p n}}$

多边形的重心坐标插值

$p_{i} = \frac{S_{p 1 p 2. . p i - 1 p i + 1. . p n}}{S_{p 1. . p n}}$ (未求证)