重心坐标插值(Barycentric Interpolation)

用来插值

线段的重心坐标插值

$P=tA+(1-t)B$

点$P$在$\triangle ABC$组成的三角形内

求点$P$的重心坐标插值$(\alpha,\beta,\gamma)$

$P=\alpha A+\beta B+\gamma C$ $\alpha+\beta+\gamma = 1$

面积

$S_{\triangle ABC} = \alpha S_{\triangle PBC} + \beta S_{\triangle PAC} + \gamma S_{\triangle PAB}$

三角形的重心坐标 $\alpha = \beta = \gamma = 1 / 3$

$P=\frac{1}{3} A+\frac{1}{3} B+\frac{1}{3} C$

四面体的重心坐标
$P_{center} = \frac {P_1+P_2+P_3+P_4} {4}$
求点$P$的重心坐标插值$(\alpha,\beta,\gamma,\delta)$
$\alpha+\beta+\gamma+\delta = 1$ $P = \alpha A+\beta B+\gamma C+\delta D$
体积
$V_{\square ABCD} = \alpha V_{\square PBCD} + \beta V_{\square PACD} + \gamma V_{\square PABD} + \delta V_{\square PABC}$
点P是否在四面体内部

$0 <= \alpha,\beta,\gamma,\delta <= 1$ $\alpha+\beta+\gamma+\delta <= 1$

多边形的重心坐标

算法一：一般适合凸多边形
n边多边形可以分成n-2个三角形，将这些三角形看做质点（质点的位置是三角形的重心x1,x2,..，质量是面积s1,s2,..），那么多边形就由这些质点组成，质点坐标以其质量为权的加权算术平均数即是多边形重心坐标x。
$P_{center} = \displaystyle\sum_{i=2}^{n-1}{\frac {C_{\triangle p1pipi+1} * S_{ p1pipi+1}}{S_{p1..pn}}}$
算法二：任意多边形
将算法一改进，n边多边形中每两个点（有顺序）加上原点可构成n个三角形,将这些三角形看做质点（质点的位置是三角形的重心x1,x2…，质量是面积(有正负)s1,s2,…），那么多边形就由这些质点组成，质点坐标以其质量为权的加权算术平均数即是多边形重心坐标x。多边形的面积s是这n个三角形面积(有正负)的代数和的绝对值。
$P_{center} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}{\frac {C_{\triangle (0,0) pipi+1} * S_{ (0,0) pipi+1}}{S_{p1..pn}}}$

多边形的重心坐标插值

$p_i = \frac {S_{p1p2..pi-1pi+1..pn}} {S_{p1..pn}}$ (未求证)