向量

向量方向

$$(\frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac {y}{\sqrt{x^2+y^2}})$$

向量长度

$$\sqrt{x^2+y^2}$$

向量点积(dot product)

$$\vec P \cdot \vec Q = \sum_{i=1}^{n} {P_iQ_i}$$

forward/backward

向量叉乘(cross product)

$$\vec a \times \vec b$$

left/right

余玄定理

$$\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos\theta$$

判定一个点是否在扇形区域内

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在二维中，检测点$\mathtt{p}$是否在扇形(circular sector)内，设扇形的顶点为$\mathtt{c}$，半径为$\mathtt{r}$，从$\vec u$方向两边展开角度$\theta$。

• 1.检测$\mathtt{p}$和$\mathtt{c}$的距离是否小于$\mathtt{r}$

  $$|\mathtt{p}-\mathtt{c}|<\mathtt{r}$$

• 2.检测$\mathtt{p}$-$\mathtt{c}$与$\vec u$的角度范围

  $$\frac {\overrightarrow{\mathtt{c}\mathtt{p}} \cdot \vec u} {|\overrightarrow{\mathtt{c}\mathtt{p}}||\vec u|} > \cos\theta$$

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判定一个向量是否在两个向量的夹角内

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判定一个向量$\vec c$是否在向量$\vec a$,$\vec b$角度内

• 1.$\vec c$,$\vec b$之间的夹角小于$\vec a$,$\vec b$

  $$\frac {\vec c \cdot \vec b}{|\vec c||\vec b|} > \frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}$$

• 2.$\vec c$,$\vec a$之间的夹角小于$\vec a$,$\vec b$

  $$\frac {\vec c \cdot \vec a}{|\vec c||\vec a|} > \frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}$$

满足以上两个条件则向量$\vec c$是否在向量$\vec a$,$\vec b$角度内

通过此方法就可以避免使用三角函数

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Vector3